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AP微积分AB:定积分的数值逼近

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例子问题

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例子问题1:定积分的数值逼近

写出给定函数在该点处的切线方程。

Y = ln(x²)在(e, 3)

可能的答案:

Y - 3 = ln(e²)(x - e)

Y = (2/e)(x - e)

Y - 3 = (x - e)

Y - 3 = (2/e)(x - e)

Y = (2/e)

正确答案:

Y - 3 = (2/e)(x - e)

解释：

要解决这个问题，首先要找到函数的导数(也称为斜率)。

Y = ln(x²）

Y ' = (2x/(x²）)

然后，为了求出关于给定点(e, 3)的斜率，代入e。

Y ' = (2e)/(e²）

简化。

y ' = (2 / e)

题目要求求函数在(e, 3)处的切线，所以用点斜公式和点(e, 3)

Y - 3 = (2/e)(x - e)

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例子问题1:积分

求出切线的方程 (1,-1) 当

$y = \压裂{x ^ {3} 2 x (x ^ {5})} {x}$

可能的答案:

y=x

y=1

y=x-2

y=x+1

y=-x-2

正确答案:

y=x-2

解释：

答案是

$y = \压裂{x ^ {3} 2 x (x ^ {5})} {x}$ 我们来消去这将简化事情。

$y = x ^ {2} 2 (x ^ {5})$

$y ' = 2 x - \压裂{1}{(x ^ {5})}$

$y '(1) = 2(1) - \压裂{1}{(1 ^ {5})}= 1$ 这是斜率，我们用点斜率公式。

y+1=1(x-1)

y+1=x-1

y=x-2

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例子问题1:定积分的数值逼近

区分 $y = \压裂{t + 2} {t ^ {2} 4 t-12}$

可能的答案:

$y ' = \压裂{1}{(t-6) ^ {2}}$

$y ' = \压裂{1}{(t ^ {2} 4 t-12) ^ {2}}$

$y ' = \压裂{(t + 2) 1} {(t ^ {2} 4 t-12) ^ {2}}$

$y ' = \压裂{1}{2第四节}$

$y ' = \压裂{1}{(t-6)}$

正确答案:

$y ' = \压裂{1}{(t-6) ^ {2}}$

解释：

答案是 $y ' = \压裂{1}{(t-6) ^ {2}}$ 在我们化简并使用除法法则之后。

$y = \压裂{t + 2} {t ^ {2} 4 t-12}$ 我们可以马上用除法法则但先化简会更简单。

$y = \压裂{t + 2} {(t + 2) (t-6)}$

$y = \压裂{1}{(t-6)}$

$y = (t-6) ^ {1}$

$(y ' =) - t-6 ^ {2}$

$y ' = \压裂{1}{(t-6) ^ {2}}$

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问题11:积分

找到 $\ lim_ {x \ rightarrow \ infty} \压裂{2 x ^ 3 + x ^ 2 - 2} {x ^ 2 + 10}$

可能的答案:

$- - - - - - \ infty$

$－2$

$\ infty$

$0$

$1$

正确答案:

$- - - - - - \ infty$

解释：

当取无穷极限时，我们通常只考虑最高指数。在这种情况下，分子 $2 x ^ 3$ 分母是 $x ^ 2$ ．因此，通过消去，它变成 $2 x$ 作为趋向于无穷。所以答案是 $- - - - - - \ infty$ ．

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例子问题1:定积分的数值逼近

评估:

$\sum_{n=1}^{\infty }4(\frac{-1}{2})^{n-1}$

可能的答案:

$\frac{8}{3}$

无法确定

$\infty$

正确答案:

$\frac{8}{3}$

解释：

首先，我们可以写出数列的前几项 $a_{n}=$ $4(\frac{-1}{2})^{n-1}$ ,在那里取值范围为1 ~ 3。

$a_{1}=4(\frac{-1}{2})^{1-1}=4$

$a_{2}=4(\frac{-1}{2})^{2-1}=-2$

$a_{3}=4(\frac{-1}{2})^{3-1}=1$

注意每一项 $\left ( n>1 \right )$ ，是通过将前一项乘以 $-\frac{1}{2}$ ．因此，该数列是一个公比为的几何数列 $-\frac{1}{2}$ ．我们可以求出无穷几何数列中各项的和，前提是 |r|<1 ,在那里是两项的公比。因为 $r=-\frac{1}{2}$ 在这个问题中， $\left | r \right |$ 确实小于1。因此，我们可以用下面的公式来求和，，一个无限几何级数。

$S=\frac{a_{1}}{1-r}=\frac{4}{1-(\frac{-1}{2})}=\frac{4}{3/2}=\frac{8}{3}$

答案是 $\frac{8}{3}$ ．

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问题11:积分

如果 $f(x)=4, f'(x)=3, g(x)=2, \ and\ g'(x)=1$ 然后找到 h'(x) ．

$h (x) = \压裂f {2} {g}$

可能的答案:

$\压裂{1}{2}$

正确答案:

解释：

答案是1。

$h (x) = \压裂f {2} {g}$

$h (x) = \压裂{2 (f (x)的g (x) - f (x) g’(x))} {g ^ {2}}$

$H '(x)=\frac{2(3*2-4*1)}{4} = 1$

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例子问题1:定积分的数值逼近

求出切线的方程 (4,1) 在图 f(x)=(x-2)(x+4)

可能的答案:

y=3x-7

y=10x-39

y=x-11

y=7x+8

y=x+40

正确答案:

y=10x-39

解释：

答案是 10x-39

f(x)=(x-2)(x+4)

$f (x) = x ^ {2} + 2 x 8$

$f (x) = 2 x + 2$

f'(x) = 2(4)+2=10

(这是斜率。现在使用点斜公式)

y-1=10(x-4)

y-1=10x-40

y=10x-39

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例子问题1:定积分的数值逼近

求(1,1)处的切线方程

$f (x) = ax ^ {2} + bx + c$

可能的答案:

y=2ax+bx-2a-b+1

y=2ax-bx-2a+1

y=2ab+b-1

y=2ax-b+1

y=2a+b

正确答案:

y=2ax+bx-2a-b+1

解释：

答案是 y=2ax+bx-2a-b+1

$f (x) = ax ^ {2} + bx + c$

$f (x) = 2 ax + b$

$F '(1)=2a(1)+b =2a +b$

(这是斜率。现在使用点斜公式。)

y-1=(2a+b)(x-1)

y-1=2ax+bx-2a-b

y=2ax+bx-2a-b+1

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例子问题1:定积分的数值逼近

如果 $f(x)=\cos x$ 然后

$f^{'}\left ( \frac{\pi }{2} \right )=$

可能的答案:

$\压裂{1}{2}$

$\压裂{2 ^ {5}}{2}$

正确答案:

解释：

答案是．

f(x)=cos(x)

f'(x)=-sin(x)

我们知道

$\frac{\pi }{2}=90^{\circ}$

所以,

$f'\left ( \frac{\pi }{2}\right )=-sin(90^{\circ})=-1$

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例子问题1:定积分的数值逼近

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2\sin(x^2)}{x\tan(x)}=$

可能的答案:

不存在

1／2

1/4

正确答案:

解释：

当x = 0时，我们得到0/0不定式。因此，我们可以应用洛必达法则，它要求我们分别对分子和分母求导。

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2\sin(x^2)}{x\tan(x)}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}2\sin(x^2)}{\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}x\tan(x)}$

分子上应用链式法则，分母上应用乘积法则。

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{4x\cos(x^2)}{\tan(x)+x\sec^2(x)}$

如果我们再次代入x = 0，我们仍然得到0/0不定式。因此，我们可以再一次应用洛必达法则。

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{4x\cos(x^2)}{\tan(x)+x\sec^2(x)}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}4x\cos(x^2)}{\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(\tan(x)+x\sec^2(x))}$

$=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{4\cos(x^2)+4x(2x)(-\sin(x^2))}{\sec^2(x)+(\sec^2(x)+x(2\sec^2x\tan x))}$

如果现在让x = 0，我们可以求极限。

$=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{4\cos(x^2)+4x(2x)(-\sin(x^2))}{\sec^2(x)+(\sec^2(x)+x(2\sec^2x\tan x))}=\frac{4\cos(0)+0}{\sec^2(0)+\sec^2(0)+0}$

$=\frac{4}{1+1}=2$

答案是2。

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