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代数II:分数的性质

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例子问题

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问题1:如何求二项式有理方程的解

求的值这将使给定的有理表达式未定义:

$\frac{x+5}{\left ( x-1 \right )\left ( x+2 \right )}$

可能的答案:

x = -1, 2

x = -5, +2

x = -5, 1

x = 1, -2

x = -1, -2

正确答案:

x = 1, -2

解释：

如果 $\left ( x-1 \right ) = 0$ 或 $\left ( x+2 \right ) =0$ ，分母是0，这使得表达式没有定义。

这发生在x = 1或x = -2时。

因此正确答案是 x = 1, -2 。

问题2:分数的性质

简单地说:

$\frac{4}{x+6}+ \frac{9}{x+4}$

可能的答案:

$\frac{15x+70}{x^{2}+4x+18}$

$\frac{18x+60}{x^{2}-10x+28}$

$\frac{12x+40}{x^{2}-4x+10}$

$\frac{13x+70}{x^{2}+10x+24}$

$\frac{14x+20}{x^{2}+9x+15}$

正确答案:

$\frac{13x+70}{x^{2}+10x+24}$

解释：

为了简化表达式 $\frac{4}{x+6}+ \frac{9}{x+4}$ ，我们需要确保两项有相同的分母。为了做到这一点，找到两个项的最小公分母(LCD)并相应地简化表达式:

$\frac{4(x+4)}{(x+6)(x+4)} + \frac{9(x+6)}{(x+4)(x+6)}$

$=\frac{4(x+4) +9(x+6)}{(x+6)(x+4)}$

$=\frac{4x+16+9x+54}{x^{2}+10x+24}$

$=\frac{13x+70}{x^{2}+10x+24}$

问题3:分数的性质

简化表达式:

$\frac{x-7}{x+3}+ \frac{9}{x^{2}+10x+21}$

可能的答案:

$\frac{x^{2}-40}{x^{2}+10x+21}$

$\frac{9x+18}{x^{2}+10x+9}$

$\frac{7x-49}{x^{2}-6x-7}$

$\frac{7x+63}{x^{2}+8x+16}$

$\frac{9x-63}{x^{2}+6x+5}$

正确答案:

$\frac{x^{2}-40}{x^{2}+10x+21}$

解释：

为了简化表达式 $\frac{x-7}{x+3}+ \frac{9}{x^{2}+10x+21}$ 首先要注意的是，这两项的分母都有一个因子:

$\frac{x-7}{x+3}+ \frac{9}{(x+3)(x+7)}$

找出两项的最小公分母(LCD):

$\frac{(x-7)(x+7)}{(x+3)(x+7)}+ \frac{9}{(x+3)(x+7)}$

$=\frac{x^{2}-49}{x^{2}+10x+21}+ \frac{9}{x^{2}+10x+21}$

最后，合并相似的术语:

$\frac{x^{2}-49+9}{x^{2}+10x+21}$

$=\frac{x^{2}-40}{x^{2}+10x+21}$

问题4:分数的性质

简化表达式:

$\frac{5}{x+2} -\frac{10}{x+3}$

可能的答案:

$\frac{5x-5}{x^{2}+5x-6}$

$\frac{-5x-5}{x^{2}+5x+6}$

$\frac{-5}{x^{2}+5x+6}$

$\frac{-5}{x}$

$\frac{-5x+5}{x^{2}-5x-6}$

正确答案:

$\frac{-5x-5}{x^{2}+5x+6}$

解释：

$\frac{5}{x+2} -\frac{10}{x+3}$

1.在这两个分数之间建立一个公分母。

$\frac{5(x+3)}{(x+2)(x+3)} -\frac{10(x+2)}{(x+3)(x+2)}$

2.简化。

$=\frac{5(x+3)-10(x+2)}{(x+2)(x+3)}$

$=\frac{5x+15-10x-20}{x^{2}+5x+6}$

$=\frac{-5x-5}{x^{2}+5x+6}$

问题5:分数的性质

求的值这将使这个有理表达式没有定义:

$\frac{x-1}{(x+2)(x-10)}$

可能的答案:

x=-2,10

x=-1,2

x=-10,2

x=-2,1,10

x=-2,1

正确答案:

x=-2,10

解释：

一个有理数表达式没有定义，分母必须等于。

1.设分母等于。

(x+2)(x-10)=0

2.设因子等于然后解出。

x+2=0

x=-2

和

x-10=0

x=10

问题6:分数的性质

的值是多少?下面的表达式是否未定义?

$\frac{x+1}{x-1}$

可能的答案:

$\text{Cannot be determined}$

$\text{All real numbers}$

正确答案:

解释：

有理数表达式在分母为零时没有定义。

x-1=0

x=1

分母为零时 x=1 。

问题7:分数的性质

计算: $\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y}$

可能的答案:

$\frac{x^2y+y^2z+xz^2}{xyz}$

xyz

$\frac{x^2+y^2+z^2}{xyz}$

$\frac{1}{xyz}$

正确答案:

$\frac{x^2y+y^2z+xz^2}{xyz}$

解释：

除非分母相同，否则这些项不能相加。要得到每一项的相同分母，通过乘法找到LCD，,。

这三项的分母是 xyz 。计算给定问题的每一项。

$\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y}=\frac{x^2y}{xyz}+\frac{y^2z}{xyz}+\frac{xz^2}{xyz}=\frac{x^2y+y^2z+xz^2}{xyz}$

问题8:分数的性质

鲍勃剩下一整块披萨当晚餐。他吃 $\frac{1}{3}$ 这个披萨。之后，温蒂吃完披萨，只剩下皮，然后离开了 $\frac{1}{20}$ 剩下的披萨。温迪吃了多少?

可能的答案:

$\frac{37}{60}$

$\frac{37}{40}$

$\frac{13}{20}$

$\frac{3}{40}$

$\frac{59}{60}$

正确答案:

$\frac{37}{60}$

解释：

一整块披萨是一个单位。

鲍勃吃完后 $\frac{1}{3}$ 这个披萨， $\frac{2}{3}$ 将继续存在。

温迪吃了一个分量为披萨的三分之二，还有叶子 $\frac{1}{20}$ 整个披萨。写出方程，解出。

$\frac{2}{3}-x=\frac{1}{20}$

$\frac{40}{60}-x=\frac{3}{60}$

$x=\frac{37}{60}$

问题9:分数的性质

尽可能简化: $\frac{1}{a}-\frac{2a+2b}{a-b}$

可能的答案:

$\frac{1-2a-2b}{b}$

$\frac{-4a^2-2a+2ab}{a^2-ab}$

$\frac{1}{a-b}$

$\frac{a-b-2a^2+2ab}{a^2-ab}$

$\frac{a-b-2a^2-2ab}{a^2-ab}$

正确答案:

$\frac{a-b-2a^2-2ab}{a^2-ab}$

解释：

为了减去分子，首先找出问题中的最小公分母。这通常可以通过将不同的分母相乘得到。

a(a-b)=a^2-ab

对于每一项，将分子与分母相乘得到最小公分母。

$\frac{1(a-b)}{a(a-b)}-\frac{(2a+2b)(a)}{(a-b)(a)}$

简化。

$=\frac{a-b}{a^2-ab}-\frac{2a^2+2ab}{a^2-ab}$

$= \frac{a-b-(2a^2+2ab)}{a^2-ab}$

$= \frac{a-b-2a^2-2ab}{a^2-ab}$

这里没有其他可以简化的术语或公因式。由于分子和分母中没有类似的项，这是完全简化的。

答案是:

$\frac{a-b-2a^2-2ab}{a^2-ab}$

问题10:分数的性质

简化: $\frac{1}{3x}-\frac{1}{3-x}$

可能的答案:

$\frac{3-4x}{ 9x-3x^2}$

$\frac{3-2x}{ 9x-3x^2}$

$\frac{x}{9-x}$

$\frac{2x-4}{3x^2-9x}$

$-\frac{4x}{9}$

正确答案:

$\frac{3-4x}{ 9x-3x^2}$

解释：

为了简化，我们需要一个公分母。

把分母相乘。

3x(3-x) = 9x-3x^2

这是新的分母。

转换分数。

$\frac{1}{3x}-\frac{1}{3-x}=\frac{3-x}{ 9x-3x^2}-\frac{3x}{ 9x-3x^2}$

把分数合并成一个分数。

$\frac{3-x-(3x)}{ 9x-3x^2}$

减去分子。

答案是: $\frac{3-4x}{ 9x-3x^2}$

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