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代数2:求和和序列

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例子问题

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问题181:数学关系与基本图形

下列哪个是等比数列?

可能的答案:

$t_{0}=4$

$t_{n}=t_{n-1}\times 3$

$t_{0}=2$

$t_{n} = t_{n-1}^{6}$

$t_{0}=4$

$t_{n}=t_{n-1}+3.4$

$t_{0}=10$

$t_{n}=t_{n-1}+5$

$t_{0}=5$

$t_{n}=t_{n-1}+3$

正确答案:

$t_{0}=4$

$t_{n}=t_{n-1}\times 3$

解释：

几何数列是一种数列，在数列中，下一项是通过将前一项乘以一个特定常数来找到的。因此，我们寻找一个包含前一项的乘法的隐式定义。唯一的可能是:

$t_{0}=4$

$t_{n}=t_{n-1}\times 3$

例子问题1:几何序列

$\left \{ -1, 2, -4, 8, -16, 32... \right \}$

上面这个数列的显式公式是什么?第20个值是多少?

可能的答案:

$a_{n}=a_{n-1}\cdot-1;\ a_{20}=524288$

$a_{n}=a_{1}\cdot-2;\ a_{20}=-524288$

$a_{n}= -1\cdot -2^{n-1};\ a_{20} = 524288$

$a_{n-1}= a_{n}\cdot -2;\ a_{20}=-524288$

$a_{n}=a_{n-1}\cdot-2^{n-1};\ a_{20} = -262144$

正确答案:

$a_{n}= -1\cdot -2^{n-1};\ a_{20} = 524288$

解释：

这是一个几何级数。任意几何级数的显式公式为:

$a_{n}= a_{1} \cdot r^{n-1}$ ,在那里公比是和吗是项的个数。

在这种情况下 r = -2 而且 a_1=-1 ．

$a_{n}= a_{1} \cdot r^{n-1}\rightarrow a_n=(-1)\cdot(-2)^{n-1}$

替代 n = 20 代入方程求第20项

$a_{20}=(-1)\cdot(-2)^{20-1}$

$a_{20}=-(-2)^{19}=-(-524288)=524288$

例子问题3:几何序列

下面显示的是什么类型的序列?

$\left \{ 4,9,15,22,30... \right \}$

可能的答案:

几何

其他答案都没有

乘法

算术

减去

正确答案:

其他答案都没有

解释：

这个级数既不是几何级数，也不是算术级数。

等比数列乘以公比()。等差数列增加了相同的附加量()。本系列两者都不做。

乘法和减法不是序列的类型。

因此，答案是其他答案都没有。

问题4:几何序列

找出系列中的第10项:

$\left \{ \frac{1}{4},\frac{1}{8},\frac{1}{16},\frac{1}{32}... \right \}$

可能的答案:

$\frac{1}{4096}$

$\frac{1}{1634}$

$\frac{1}{512}$

$\frac{1}{8192}$

$\frac{1}{2048}$

正确答案:

$\frac{1}{2048}$

解释：

几何级数的显式公式为 $a_{n}=a_{1}\cdot r^{n-1}$

在这个问题中 $r=\frac{1}{2}$

因此:

$a_{10}=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{2}^{9}$

${\color{Red} a_{10}=\frac{1}{2048}}$

例子问题1:几何序列

下面哪个是几何数列的公式?

可能的答案:

a_4=a_3+9(n+1)

$a_6=3\cdot 7^5, a_1=3$

$a_4=5\cdot (\frac{1}{3})^4$

$a_{16}=a_{15}\cdot 3$

a_3=6+4(n-1)

正确答案:

$a_6=3\cdot 7^5, a_1=3$

解释：

几何级数的显式公式为 $a_n=a_1\cdot r^{n-1}$ ．

因此, ${\color{Red} a_6=3\cdot 7^5, a_1=3}$ 这是唯一可行的答案。

例子问题6:几何序列

求下列级数的第15项:

$\left \{ 120, 60, 30, 15, 7.5,... \right \}$

可能的答案:

$a_{15}=.0037$

$a_{15}=.0025$

$a_{15}=.0073$

$a_{15}=.0016$

$a_{15}=.0018$

正确答案:

$a_{15}=.0073$

解释：

这个级数是几何级数。任意几何级数的显式公式为:

$a_n=a_1\cdot r^{n-1}$

在哪里代表了 $n^{th}$ 项, a_1 第一项，和是公比。

在本系列中 $r = \frac{1}{2}$ ．

因此求第15项的公式是:

$a_{15}=120\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{14}$

$a_{15}=.0073$

例子问题1:如何在一组数字中找到缺失的数字

2, 6, 18, n, 162...

$\textup{In the above geometric sequence, what is the value of }n\textup{?}$

可能的答案:

正确答案:

解释：

$\textup{Look for a pattern. Each term in the sequence is three times the previous term.}$

$18\ast3=54$

示例问题7:几何序列

给出等比级数的第33项

2, -3, 4.5, -6.75, ...

[2是第一项]

可能的答案:

12,987

862,879.767

431,439. 884

1,853,020,188, 851, 841

-1,294,319.650

正确答案:

862,879.767

解释：

首先，我们需要用第二项除以第一项来求公比:

$-3 \div 2 = -1.5$

的 $n^{th}$ 项是

$\\a_{n} = a_1(r)^{n-1}\\a_n=2(-1.5)^{n-1}$ ，

所以第33项是

$a_{33} = 2(-1.5)^ {32 } = 862,879.767$ ．

例8:几何序列

求数列的第19项 $7,000, \enspace 2,800, \enspace 1,120, \enspace 448, ...$

[第一项是7000]

可能的答案:

0.000192

1.119

0.000481

14,551, 915.228

0.00000000184

正确答案:

0.000481

解释：

首先用第二项除以第一项求公比:

$2,800 \div 7,000 = \frac{ 2}{5} = 0.4$

因为第一项是 7,000 ，第n项可以用公式求出

$\\a_{n} = a_1(r)^{n-1}$

$7,000(0.4)^ {n-1 }$ ，

所以第19项是 $7,000(0.4)^{18} = 0.000481$

问题9:几何序列

求数列的第21项 90, 108, 129.6, 155.52, ...

[90是第一个，所以n=1]

可能的答案:

2.348

4,140.461

1.956

3,450.384

55.206

正确答案:

3,450.384

解释：

首先，用第二项除以第一项求公比:

$108 \div 90 = 1.2$

第n项可以用

$\\a_{n} = a_1(r)^{n-1}$

$90(1.2)^ {n-1}$ ，

第21项是

$90(1.2) ^ {20 } = 3,450.384$ ．

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