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代数2:插值

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例子问题

问题7:变量之间的关系

给定以下两点，使用插值来确定该值的最佳估计值 f(24.75)

(24,81) ， (25,93)

可能的答案:

82.5

91.5

正确答案:

解释：

利用我们已知的两个点，我们可以使用插值来确定它们之间任意点的值，公式如下:

$\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{x-x_1}$

在哪里 (x_1,y_1) 是我们的第一个给定点， (x_2,y_2) 第二个给定点是，和 (x,y) 就是我们要找的点。我们知道两个给定的点，以及未知点的x值，现在我们要做的就是代入所有已知的值并解出y，我们唯一的未知点:

$\frac{93-81}{25-24}=\frac{y-81}{24.75-24}$

$12=\frac{y-81}{0.75}$

$y-81=9\rightarrow y=f(24.75)=90$

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问题8:变量之间的关系

根据收集到的以下数据点，工厂的产量(单位/天)与工作的员工数量的关系绘制在下面的图表中:

(工人，每天产量单位):

$\left(100,1300\right)$

$\left(75,1050\right)$

$\left(200,2300\right)$

$\left(225,2550\right)$

假设有一个线性关系，插入来找出每天将生产多少单位，如果 110 工人们的礼物。

Linear_interp

可能的答案:

$1335\textup{ units}$

$1400\textup{ units}$

$1375\textup{ units}$

$1380\textup{ units}$

$1370\textup{ units}$

正确答案:

$1400\textup{ units}$

解释：

我们想做一个线性插值，因为工人和单位之间的关系可以假设是线性的。这意味着两点之间的斜率是常数，所以两点之间的斜率等于我们要找的点和某个已知点之间的斜率。这表现在关系中:

$\frac{y-y_0}{x-x_0}=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}$ ，

在哪里而且我们要找的点是和吗 (x_1,y_1) 而且 (x_0,y_0) 是已知的。我们选择已知的点就是我们要找的点的左边和右边，

(100,1300) 而且 (200,2300) ．

把这些代入插值公式 x=110 ，我们可以找到，单位日产量。

$\frac{y-1300}{110-100}=\frac{2300-1300}{200-100}$ ．

简化和重新排列来解决：

y=1400 ．

所以有 1400 当工人数量为 110 ．

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问题9:变量之间的关系

考虑到分 $\left ( 30,51\right )$ 而且 $\left ( 20,36\right )$ ，用线性插值法求值当 x=26.5 ．

可能的答案:

45.75

49.99

44.60

42.38

正确答案:

45.75

解释：

用插值公式确定y的值:

$\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{y-y_{1}}{x-x_{1}}$

我们用(30,51)作为x2和y2用(20,36)作为x1和y1用26.5求出y。

$\frac{51-36}{30-20}=\frac{y-36}{26.5-20}$

$\frac{15}{10}=\frac{y-36}{6.5}$

$\frac{3}{2}(6.5)=y-36$

y=45.75

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问题11:变量之间的关系

鉴于 $\left ( 15,10\right )$ 而且 $\left ( 30,15\right )$ 用线性插值来求当 x=17.9 ．

可能的答案:

11.34

11.21

10.54

10.97

正确答案:

10.97

解释：

用公式进行插值:

$\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{y-y_{1}}{x-x_{1}}$

我们将(30,15)作为x2和y2，(15,10)作为x1和y1，并在x=17.9时求解y:

$\frac{15-10}{30-15}=\frac{y-10}{17.9-15}$

$\frac{5}{15}=\frac{y-10}{2.9}$

$(\frac{5}{15})(2.9)=y-10$

y=10.97

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问题12:变量之间的关系

玛丽每年生日都要测量身高，从11岁开始一直到16岁。她想用收集到的所有信息做一个表格，但发现她丢失了一张纸，上面写着她的身高14^th的生日。她不完整的表看起来像这样:

年龄(年)	身高(英寸)
11	47.5
12	50.25
13	53
14	?
15	58.5
16	61.25

利用线性插值的方法，下列哪一项是最近的估计玛丽14岁时的身高^th生日吗?

可能的答案:

$55.75\:in$

题目中给出的信息不够。

$53.\bar{3}\:in$

$57\ in$

$56\:in$

正确答案:

$55.75\:in$

解释：

使用线性插值意思是我们在数据集中的点之间画一条线，然后用这条线来估计这个值之间的两个数据点;在这种情况下，我们有玛丽13岁的数据^th和15^th生日，所以我们可以在这两点之间画一条线并估计她14岁时的身高。我们的行会写进去斜截式:

y=mx+b

的变量表示玛丽的年龄(以年为单位)和变量用英寸表示她的身高。首先，我们需要找到斜率。用桌子上的2个点 (13,53) 而且 (15,58.5) 分别作为点1和点2，我们把这些值代入斜率公式：

$m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{(58.5-53)}{(15-13)}=\frac{5.5}{2}=2.75$

接下来，我们通过代入斜率(我们刚刚求出)和表格中的一个点来求y轴截距 (13,53) )和求解：

53=(2.75)(13)+b

简化:

53=35.75+b

两边同时减去35.75：

b=17.25

插补线的方程为:

y=(2.75)x+17.25

为了估算出玛丽14岁时的身高^th生日，我们插上电源 x=14 和解决：

y=(2.75)(14)+17.25=38.5+17.25=55.75

我们估计玛丽的身高在 x=14 是 $55.75\:in$

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问题13:变量之间的关系

求当 x=-2 考虑到分 (8,1) 而且 (4, 9) ．

可能的答案:

$\frac{7}{2}$

正确答案:

解释：

写出插值公式。

$y=y_1 + \frac{(x-x_1)(y_2-y_1)}{(x_2-x_1)}$

确定并替换这些值。

$y=1 + \frac{(-2-8)(9-1)}{(4-8)}$

简化了分数。

$y=1 + \frac{-10(8)}{-4} = 1+\frac{-80}{-4} =1+20 = 21$

答案是:

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