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代数2:二项式定理

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例子问题

问题62:概率

假设你猜了多项选择题的每道题。有12个问题，每个问题有4个可能的答案。正好答对8个答案的概率是多少?

可能的答案:

0.32

0.0002

0.002

0.000004

正确答案:

0.002

解释：

这个问题可以用二项概率方程来解决:

$\small P=\binom{n}{k}p^kq^{n-k}$

$\small n=total\ number\ of\ questions\ (trials)$

$\small k=number\ correct\ (successes)$

$\small n-k=number\ incorrect\ (failures)$

$\small p=probability\ of\ getting\ 1\ question\ correct\ (0.25)$

$\small q=1-p\ probability\ of\ getting\ 1\ question\ incorrect\ (0.75)$

$\small \small \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$

$\small \small P=(\frac{n!}{k!(n-k)!})p^kq^{n-k}=\frac{12!}{8!(4)!}(0.25)^8(0.75)^4$

$\small P=\frac{12\times11\times10\times9}{4\times3\times2\times1}(0.25)^8(0.75)^4=0.002$

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问题63:概率

的系数是多少 $x^{6}$ 如果表达式 $(x + 4)^{8}$ 扩大吗?

可能的答案:

322,560

4,096

448

114, 688

正确答案:

448

解释：

根据二项式定理，如果表达式 $(x+a) ^{n}$ 展开后，结果可定义为

$(a+b) ^{n} = \sum_{i=0}^{n} C(n, i) a^{n-i} b^{i}$

如果我们将 a = x, b = 4,n=8 ，那么上面的表达式，稍微重新排列，就变成

$(x+4) ^{8} = \sum_{i=0}^{8} C(8, i) \cdot 4^{i} \cdot x^{8-i}$

的系数 $x^{8-i}$ 项是

$C(8, i) \cdot 4^{i}$

求的系数 $x^{6}$ ,我们设置 i = 2 和评估:

$C(8, 2) \cdot 4^{2} = 28 \cdot 16 = 448$

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示例问题64:概率

的系数是多少 x^4 在多项式 (x+3)^7

可能的答案:

315

945

正确答案:

945

解释：

二项式定理说我们可以表示出多项式 (x+a)^n 作为一个总和

$\sum_{k=0}^n\binom{n}{k} a^k x^{n-k}$

因此，如果我们想求的系数 x^4 ，

k=3 自 7-4=3 ，

a=3 而且 n=7 ．

因此，系数 x^4 是

$\binom{7}{4}3^3 = \frac{7!}{4!(7-4)!}3^3 = 945$

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问题65:概率

你们要做的是选择题的问题。如果每个问题都有你猜所有的选项，得到正数的概率是多少正确的问题吗?

可能的答案:

0.045

0.60

0.0055

0.040

0.0060

正确答案:

0.0055

解释：

这个问题需要应用概率论的二项式定理。为了确定恰好答对6道题的概率，我们必须记住这个定理的公式:

$P=\begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix}p^kq^{n-k}$

在哪里是试验次数(总题目数)，是成功次数(正确答案)，是一次试验成功的概率(答对一个问题的概率)，一次试验失败的概率(回答错误问题的概率)，和得到的概率是多少正确的问题总问题。因为每个问题有5个选项，正确回答一个问题的几率是1/5，或0.2，因此错误回答一个问题的几率是4/5，或0.8。现在我们得到了所有的值，可以把它们代入公式:

$P=\begin{pmatrix} 10\\6 \end{pmatrix}(0.2)^6(0.8)^{10-6}$

公式的第一部分(括号中是10 / 6)表示我们执行以下计算:

$\begin{pmatrix} 10\\6 \end{pmatrix}=\frac{10!}{(10-6)!6!}=\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{(4\cdot3\cdot2\cdot1)(6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1)}$

$=\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7}{4\cdot3\cdot2\cdot1}=\frac{5040}{24}=210$

现在我们可以把这个值代入公式，得到:

$P=(210)(0.2)^6(0.8)^{10-6}=0.0055$

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问题66:概率

一枚均匀的硬币抛50次。正面的预期次数是多少?

可能的答案:

正确答案:

解释：

二项分布的期望值可能是n*p。N是试验的次数，在这个例子中是抛50次硬币。P是正面出现的概率。因为硬币是均匀硬币，所以概率是． n*p=50*.5=25

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问题67:概率

学生要参加一个12题的选择题测试。有5个选项，学生猜所有问题的答案。学生恰好答对7道题才能通过考试的概率是多少?四舍五入到小数点后5位。

可能的答案:

0.00213

0.00587

0.08304

0.03694

0.00332

正确答案:

0.00332

解释：

为了确定概率，我们需要使用二项式定理。

这个方程可以写成两种形式:

$\binom{n}{r}\cdot p^r\cdot (1-p)^{n-r}$

或者:

$_nC_r \cdot p^r \cdot q^{n-r}$

的定义和值 n,r,p,q ．

:试验总次数
:表示事件数量
:表示每次试验发生的概率
:是每次尝试不发生事件的概率

n=12 ， r=7 ， $p= \frac{1}{5}$ ， $q = \frac{4}{5}$

把这些值代入公式。

$_{12}C_{7} \cdot (\frac{1}{5})^7 \cdot (\frac{4}{5})^{12-7}$

记得:

$C(n,r) =\frac{n!}{r! (n - r)!}$

$_{12}C_{7} = \frac{12!}{7!(12-7)!} = 792$

条款成为:

$792 \cdot (\frac{1}{5})^7 \cdot (\frac{4}{5})^{12-7} = \frac{811008}{244140625}$

用计算器化简这些项。

答案是: 0.00332

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问题68:概率

假设比利参加了一个5题的选择题测试，每个问题有5个选项。比利恰好答对4题通过考试的概率是多少?

可能的答案:

$\frac{4}{375}$

$\frac{256}{625}$

$\frac{7}{775}$

$\frac{4}{625}$

$\frac{5}{1024}$

正确答案:

$\frac{4}{625}$

解释：

写出二项式公式。

$P = _nC_r\cdot p^r\cdot q^{n-r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}\cdot p^r\cdot q^{n-r}$

$n=\textup{number of trials }= 5$

$r= \textup{number of success} =4$

$p=\textup{probability of success per trial} = \frac{1}{5}$

$q=\textup{probability of failure per trail} = \frac{4}{5}$

评估的概率。

$P=\frac{5!}{4!(5-4)!}\cdot (\frac{1}{5})^4\cdot (\frac{4}{5})^{5-4}$

$P = 5\cdot(\frac{1}{5})\cdot(\frac{1}{5})\cdot(\frac{1}{5})\cdot(\frac{1}{5})\cdot(\frac{4}{5})$

答案是: $\frac{4}{625}$

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问题69:概率

假设一名参赛者必须在6道选择题中答对4道才能获奖。每个问题有四个选项。如果他/她全部猜中，那么他/她恰好答对四题的概率是多少?

可能的答案:

$\frac{81}{8192}$

$\frac{27}{2048}$

$\frac{45}{16384}$

$\frac{1215}{4096}$

$\frac{135}{4096}$

正确答案:

$\frac{135}{4096}$

解释：

这个问题需要二项式定理。编写公式。

$P = _nC_r\cdot p^r\cdot q^{n-r}$

这个公式也可以改写为:

$P= \frac{n!}{r!(n-r)!}\cdot p^r\cdot q^{n-r}$

识别所有的术语。

$n=\textup{number of trials } =6$

$r= \textup{number of success} =4$

每个问题有四个选项，这意味着只有一个正确答案。

$p=\textup{probability of success per trial} = \frac{1}{4}$

不及格率是四题中的三题。

$q=\textup{probability of failure per trail} = \frac{3}{4}$

把这些项代入公式并化简。

$P= \frac{6!}{4!(6-4)!}\cdot (\frac{1}{4})^4\cdot (\frac{3}{4})^{6-4}$

$P= \frac{6\times 5}{2}\cdot (\frac{1}{4})(\frac{1}{4})(\frac{1}{4})(\frac{1}{4})\cdot (\frac{3}{4})(\frac{3}{4})$

$P= 15\cdot \frac{9}{4^6} = \frac{135}{4096}$

答案是: $\frac{135}{4096}$

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问题70:概率

一枚均匀的硬币抛10次。观察到四个正面的概率是多少?

可能的答案:

0.5

0.0625

0.000976

0.117

0.205

正确答案:

0.205

解释：

这是一个试验次数n = 10的二项分布。成功的概率(p)是0.5，因为它是一枚均匀硬币。成功的次数(r)是4因为我们想要得到4次正面的概率。

二项分布的公式是

$(_nC_r)p^r(1-p)^{n-r}$

$(_{10}C_{4})*0.5^4+(1-0.5)^6$

=0.205

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例子问题1:二项式定理

这相当于 $(a+b)^{4}$ ?

可能的答案:

$a^{4}+3a^{3}b+3a^{2}b^2+3ab^3+b^4$

$a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^2+4ab^3+b^4$

$a^{4}+5a^{3}b+10a^{2}b^2+5ab^3+b^4$

$a^{4}+4a^{3}b+4ab^3+b^4$

$2a^{4}+4a^{3}b+2a^{2}b^2+4ab^3+2b^4$

正确答案:

$a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^2+4ab^3+b^4$

解释：

要回答这个问题，你可以用二项式定理或者乘法 (a+b)(a+b)(a+b)(a+b) ．下面将详细介绍这两种情况。

注:如果您需要帮助理解Sigma符号，请访问://www.boatm8.com/hotmath/hotmath_help/topics/sigma-notation-of-a-series；此外,符号经常被读成“n选k”，这是另一种写法吗有关组合的更多信息，请访问//www.boatm8.com/hotmath/hotmath_help/topics/combinations

二项式定理是:

这里n=4。代入这个式子，我们得到:

或者，我们可以通过乘法来解决这个问题:

(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)

(a^2+2ab+b^2)(a+b)(a+b)

(a^2+2ab+b^2)(a^2+2ab+b^2)

a^4+2a^3b+b^2a^2+2a^3b+4a^2b^2+2b^3a+b^2a^2+2b^3a+b^4

a^4+4a^3b+6a^2b^2+4b^3a+b^4

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