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代数II:渐近线

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例子问题

问题31:函数和行

方程图像的水平渐近线是多少 $y = -2e^{x-3} -5$ ？

可能的答案:

y=3

y=-2

y=5

$y=-\frac{5}{2}$

y=-5

正确答案:

y=-5

解释：

这个方程的渐近线可以通过观察得到 $e^{x-3} > 0$ 不管。这样我们就求出了的值作为 $e^{x-3}$ 接近零。

$-2e^{x-3} < -2\cdot 0$

$-2e^{x-3} < 0$

$-2e^{x-3} -5 < 0-5$

$-2e^{x-3} -5 < -5$

y<-5

所以这个值不能超过它，和线 y = -5 是渐近线。

问题1:求解和绘制指数方程

函数图像的渐近线是什么

$f(x) = 5e^{x-2}-2$ ？

可能的答案:

x=2

y = -2, x=2

y = -2, x=-2

y = -2

x=-2

正确答案:

y = -2

解释：

这样的指数方程 $f(x) = ae^{x-h} +k$ 只有一条渐近线——一条水平的 y = k 。在给定的函数中， k = -2 ，所以它的唯一渐近线是 y = -2 。

问题1:求解和绘制指数方程

求方程的垂直渐近线。

$y=\frac{x^2-9}{x^2-16}$

可能的答案:

x=1

x=4, -4

x=4

x=0

没有垂直渐近线。

正确答案:

x=4, -4

解释：

为了求出垂直渐近线，我们将函数的分母设为零，然后求解。

0=x^2-16

16=x^2

$\sqrt{16}=\sqrt{x^2}$

4, -4=x

问题1:求解和绘制指数方程

确定渐近线，如果有的话: $y=\frac{x^2-2x+1}{x^2-1}$

可能的答案:

x=-1

$x=-\frac{1}{2}$

$x=\pm1$

$\textup{There are no asymptotes.}$

x=1

正确答案:

x=-1

解释：

把分子和分母都分解。

$y=\frac{x^2-2x+1}{x^2-1}=\frac{(x-1)(x-1)}{(x+1)(x-1)}$

注意其中一个二项式消掉了。

这个方程的定义域不能包含 $x=\pm1$ 。

简化方程为:

$y=\frac{x-1}{x+1}$

自 (x-1) 项消去， (x-1) 项将有一个洞而不是渐近线。

设分母等于零。

x+1=0

两边同时减去1。

x=-1

只会有一条渐近线: x=-1

答案是: x=-1

问题1:求正切、余割、正割和余切函数的垂直渐近线方程

哪个选项代表渐近线，如果有的话? $y=\frac{2x^2+2x}{x^2-8x-9}$

可能的答案:

x=9

$x=9\textup{ and }y=\frac{2}{5}$

x=1, 9

$x=1, 9\textup{ and } y= -\frac{2}{5}$

$\textup{There are no asymptotes.}$

正确答案:

x=9

解释：

把分子和分母分解。

$y=\frac{2x^2+2x}{x^2-8x-9} = \frac{2x(x+1)}{(x-9)(x+1)}$

注意 (x+1) Terms将被取消。该孔将位于 x=-1 因为这是一个可移除的不连续。

$y=\frac{2x}{x-9}$

分母不能等于零。设置分母来找到x变量不能存在的位置。

$x-9\neq0$

$x\neq9$

渐近线位于 x=9 。

问题1:求解和绘制指数方程

渐近线在哪里，如果有的话? $y=\frac{2x-4}{x^2-4}$

可能的答案:

$\textup{There is no asymptote.}$

y=-2

x=-2

y=2

x=2

正确答案:

x=-2

解释：

把分子和分母分解。

2x-4 = 2(x-2)

x^2-4 = (x+2)(x-2)

重写这个方程。

$y=\frac{2x-4}{x^2-4}=\frac{ 2(x-2)}{(x+2)(x-2)}=\frac{2}{x+2}$

注意 (x-2) 将会取消。这意味着根 (x-2) 将是一个洞而不是渐近线。

设分母为零，解出x。

x+2=0

x=-2

渐近线位于: x=-2

答案是: x=-2

问题1:渐近线

考虑指数函数 y=2^x+3 。判断是否有渐近线以及它们在图上的位置。

可能的答案:

有一条垂直渐近线 y=3 。

有一条水平渐近线 y=3 。

没有渐近线。都趋于正无穷和的方向。

有一条垂直渐近线 y=2 。

正确答案:

有一条水平渐近线 y=3 。

解释：

积极值,呈指数增长并趋于正无穷，所以在正无穷上没有渐近线设在。为负值,如减少，期限 2^x 变得越来越接近零方法当我们沿着负方向移动轴。如下图所示，这是一条水平渐近线。

Exp_asymp

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