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ACT数学:如何求出多面体的体积

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例子问题

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例子问题1:如何求多面体的体积

罗伯托有一个长方形棱柱形的游泳池。他的游泳池是米宽,有几米长，米深。他夏天需要把水池装满水，而他的水管装满水的速度是立方米每小时。罗伯托要花多少小时才能把游泳池填满?

可能的答案:

150

100

正确答案:

150

解释：

首先，求出池的体积。对于矩形棱镜，其体积公式如下:

$\text{Volume}=\text{length}\times \text{width}\times \text{height}$

对于游泳池，

$\text{Volume}=10 \times 25\times 3=750$ 立方米

现在，因为软管只能填满立方米每小时，用总体积除以求出池子填满需要多长时间。

$750\div5=150$

它将占用游泳池 150 用软管灌好几个小时。

例子问题2:如何求多面体的体积

马特为他妈妈的生日烤了一个长方形蛋糕。蛋糕是英寸长,英寸宽，而且英寸高。如果他把蛋糕切成小块英寸长,英寸宽，而且几英寸高，他能切多少块蛋糕?

可能的答案:

正确答案:

解释：

首先，求出蛋糕的体积。对于矩形棱镜，

$\text{Volume}=\text{length}\times\text{width}\times\text{height}$

$\text{Volume}=15\times12\times4=720$

接下来，求出每个切片的体积。

$\text{Volume}=3\times2\times4=24$

现在，用整个蛋糕的体积除以切片的体积，就能知道马特能切多少块蛋糕了。

$720\div24=30$

例子问题3:如何求多面体的体积

立方体的表面积是 $150\textup{m}^2$ ．它的体积是多少?

可能的答案:

$125\textup{m}^3$

$300\textup{m}^3$

$1000\textup{m}^3$

$225\textup{m}^3$

正确答案:

$125\textup{m}^3$

解释：

首先，求出立方体的边长。

回想一下，立方体的表面积由下面的方程给出:

$\text{Surface Area}=6s^2$ ,在那里是边长。

代入由方程给出的表面积，我们就能求出立方体的边长。

150=6s^2

s^2=25

s=5

现在，回想一下，立方体的体积由下面的方程给出:

$\text{Volume}=s^3$

$\text{Volume}=5^3=125$

例子问题1:其他的多面体

右三棱柱的体积为 $120\textup{in}^{3}$ ．找到…的价值．

可能的答案:

正确答案:

解释：

直角三棱柱的体积由下式给出:

$\text{Volume}=\text{Area of the Base}\times \text{height}$

对于给定的问题，高度是．

$120=\text{Area of the base}\times 12$

$\text{Area of the base}=10$

由于底的面积是一个直角三角形，我们可以代入给定的值来求．

$\text{Area of Triangle}=\frac{\text{base}\times\text{height}}{2}$

$10=\frac{5x}{2}$

5x=20

x=4

例子问题2:其他的多面体

下面所示的帐篷是一个三棱柱的形状。这个帐篷的体积是多少立方英尺?

可能的答案:

$360\textup{ft}^{3}$

$120\textup{ft}^{3}$

$80\textup{ft}^{3}$

$240\textup{ft}^{3}$

正确答案:

$120\textup{ft}^{3}$

解释：

直角三棱柱的体积由下式给出:

$\text{Volume}=\text{Area of the Base}\times \text{height}$

$\text{Area of Base}=\frac{5\times6}{2}=15$

$\text{Volume}=15\times 8=120$

例子问题1:如何求多面体的体积

盒子的高是它的宽的两倍，长的一半。如果盒子的体积是 $64\textup{yd}^{3}$ 这个盒子的长度是多少?

可能的答案:

$4\textup{ yards}$

$2\textup{ yards}$

$6\textup{ yards}$

$8\textup{ yards}$

正确答案:

$8\textup{ yards}$

解释：

对于矩形棱镜，其体积公式如下:

$\text{Volume}=\text{length}\times \text{width}\times \text{height}$

现在，我们知道高是宽的两倍。我们可以写成:

h=2w

$w=\frac{h}{2}$

我们还知道高是长的一半。可以写成:

$h=\frac{1}{2}l$

l=2h

现在，我们可以把长，宽，高的值代入到高中来求高。

$64=(2h)(\frac{h}{2})(h)$

64=h^3

h=4

题目要求的是盒子的长度。把高度的值代入我们之前写的方程来表示高度和长度之间的关系。

l=2h=2(4)=8

示例问题7:如何求多面体的体积

以立方英寸为单位，求出一个表面积为的四面体的体积 $100\sqrt3\textup{ in}^{2}$ ．

可能的答案:

$\frac{500\sqrt2}{3}$

1000

$\frac{250\sqrt2}{3}$

$500\sqrt3$

正确答案:

$\frac{250\sqrt2}{3}$

解释：

首先，我们需要求出四面体的边长。

我们可以用表面积来求边长。回想一下求四面体表面的公式:

$\text{Surface Area}=\sqrt3 s^2$ ,在那里是边长。

$100\sqrt3=\sqrt3s^2$

s^2=100

s=10

现在，回想一下计算四面体体积的公式:

$\text{Volume}=\frac{\sqrt2}{12}s^3$

$\text{Volume}=\frac{\sqrt2}{12}10^3=\frac{1000\sqrt2}{12}=\frac{250\sqrt2}{3}$

例8:如何求多面体的体积

苏珊买了一根巧克力棒，装在一个三角形的容器里，如下图所示。如果容器里装满了巧克力，单位是立方英寸，苏珊买了多少体积的巧克力?

可能的答案:

$78\textup{in}^{3}$

$112\textup{in}^{3}$

$96\textup{in}^{3}$

$56\textup{in}^{3}$

正确答案:

$56\textup{in}^{3}$

解释：

直角三棱柱的体积由下式给出:

$\text{Volume}=\text{Area of the Base}\times \text{height}$

$\text{Area of Base}=\frac{4\times2}{2}=4$

$\text{Volume}=4\times 14=56$

问题9:如何求多面体的体积

特洛伊的公司生产的骰子形状像立方体，边长为 $2\textup{cm}$ ．如果制造骰子所需的塑料成本 $\$0.10$ 每立方厘米，特洛伊制造一个模具要花多少钱?

可能的答案:

$\$0.40$

$\$0.60$

$\$0.80$

$\$1.60$

正确答案:

$\$0.80$

解释：

首先，求出骰子的体积。对于立方体，体积公式如下:

$\text{Volume}=\text{side length}^3$

$\text{Volume}=2^3=8$

因为它需要成本 $\$0.10$ 对于每立方厘米，你需要乘以这个数字得到每个骰子的代价。

$8(\$0.10)=\$0.80$

例子问题10:如何求多面体的体积

金字塔被放置在一个立方体中，这样它们就共享一个底和高度。如果立方体的表面积是 $486\textup{ft}^{2}$ 金字塔的体积是多少，以平方英尺为单位?

可能的答案:

$729\textup{ft}^{2}$

$243\textup{ft}^{2}$

$225\textup{ft}^{2}$

$216\textup{ft}^{2}$

正确答案:

$243\textup{ft}^{2}$

解释：

首先，我们需要求出立方体的边长。

回想一下，立方体的表面积由下面的方程给出:

$\text{Surface Area}=6s^2$ ,在那里是边长。

代入由方程给出的表面积，我们就能求出立方体的边长。

486=6s^2

s^2=81

s=9

现在，因为金字塔和立方体共享一个底座，我们知道金字塔一定是一个方形的。

回想一下如何计算金字塔的体积:

$\text{Volume}=\text{Area of base}\times \text{height}\times \frac{1}{3}$

$\text{Area of Base}=9\times9=81$

既然金字塔和立方体一样高，那么金字塔的高度也是．

$\text{Volume}=81\times 9\times \frac{1}{3}=243$

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