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ACT数学:如何找到切线的定义域

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例子问题

例子问题1:如何找到切线的范围

函数的定义域是什么 $\tan(\theta)$ 从间隔开始 $[-\pi,\pi]$ ?

可能的答案:

$\left[-\pi, \frac{-\pi}{2}\right)\cup \left(\frac{\pi}{2},\pi\right]$

$\left[-\pi, \frac{-\pi}{2}\right)\cup \left(\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2},\pi\right]$

$\left[-\pi, \frac{-\pi}{2}\right]\cup \left[\frac{\pi}{2},\pi\right]$

$\left(-\pi, \frac{-\pi}{2}\right)\cup \left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$

$\left[-\pi, \frac{-\pi}{2}\right]\cup\left[\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] \cup\left[\frac{\pi}{2},\pi\right]$

正确答案:

$\left[-\pi, \frac{-\pi}{2}\right)\cup \left(\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2},\pi\right]$

解释：

把正切函数写成cos和sin的形式。

$\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$

因为分母不能为零，所以求所有的值 $\cos(\theta)=0$ 在间隔中 $[-\pi,\pi]$ ．

$\theta=-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}$

这些值是渐近线，在切线上不存在。它们将不包括在定义域中，括号将用于区间表示法。

正确的解决方法是 $\left[-\pi, \frac{-\pi}{2}\right)\cup \left(\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2},\pi\right]$ ．

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例子问题2:如何找到切线的范围

域在哪里不存在 $y=2tan(x-\frac{\pi}{2})+3$ ?

可能的答案:

$x=2\pi+2\pi k \textup{, for k any integer}$

$x=2\pi+\frac{\pi}{2} k \textup{, for k any integer}$

$x=\pi+2\pi k \textup{, for k any integer}$

$x=3\pi+\frac{\pi}{2} k \textup{, for k any integer}$

$x=\pi+\pi k \textup{, for k any integer}$

正确答案:

$x=\pi+\pi k \textup{, for k any integer}$

解释：

对于以下情况，tan的父函数的定义域不存在:

$x=\frac{\pi}{2}+\pi k \textup{, for k any integer.}$

振幅和垂直位移不会影响图的定义域或周期。

的 $x-\frac{\pi}{2}$ 它告诉我们图形会向右移动 $\frac{\pi}{2}$ 单位。

因此，渐近线将位于:

$x=\frac{\pi}{2}+\pi k+ \frac{\pi}{2} \textup{, for k any integer.}$

渐近线的位置为:

$x=\pi+\pi k \textup{, for k any integer}$

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例子问题3:如何找到切线的范围

求定义域 $y=tan(x-\frac{3\pi}{4})$ ．假设都是实数。

可能的答案:

$\textup{Everywhere except: }x=\frac{3\pi}{4}\pm \pi k$

$\textup{Everywhere except: }x=\frac{5\pi}{4}\pm \pi k$

$\textup{Everywhere except: }x=\frac{5\pi}{4}\pm \frac{\pi}{2} k$

$x=\frac{3\pi}{4}\pm \pi k$

$x=\frac{5\pi}{4}\pm \pi k$

正确答案:

$\textup{Everywhere except: }x=\frac{5\pi}{4}\pm \pi k$

解释：

的领域 tan(x) 不存在于 $\frac{\pi}{2}\pm \pi k$ ,因为整数形式。

每个周期的末尾都接近于正无穷或负无穷。注意，对于这个问题，整个图向右移动 $\frac{3\pi}{4}$ 单位。这意味着渐近线也会向右移动相同的距离。

渐近线将存在于:

$x=\frac{\pi}{2}\pm \pi k + \frac{3\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}\pm \pi k$

因此，域的 $y=tan(x-\frac{3\pi}{4})$ 将存在于任何地方，除了:

$\frac{5\pi}{4}\pm \pi k$

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