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ACT数学:如何找到一个角度与余弦

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例子问题

例子问题1:如何找到一个角度与余弦

Soh_cah_toa

在上面的三角形中， a = 15 而且 h = 25 ．找到 $\theta$ ．

可能的答案:

$0.6^{\circ}$

$59.0^{\circ}$

$36.9^{\circ}$

$31.0^{\circ}$

$53.1^{\circ}$

正确答案:

$53.1^{\circ}$

解释：

对于直角三角形，我们可以用SOH CAH TOA来求解未知的边长和角度。对于这个问题，我们已知三角形的邻边和斜边与这个角的关系。有了这些信息，我们可以用余弦函数求出角度。

$\cos = \frac{adjacent}{hypotenuse}$

$\cos\left ( \theta\right ) = \frac{15}{25} = 0.6$

$\arccos\left ( 0.6\right ) = \theta$

$53.1^{\circ}= \theta$

例子问题1:如何找到一个角度与余弦

Soh_cah_toa

对于上面的三角形， a = 12 而且 h = 30 ．找到 $\theta$ ．

可能的答案:

$21.8^{\circ}$

$66.4^{\circ}$

$68.2^{\circ}$

$0.4^{\circ}$

$25.6^{\circ}$

正确答案:

$66.4^{\circ}$

解释：

对于直角三角形，我们可以用SOH CAH TOA来求解未知的边长和角度。对于这个问题，我们已知三角形的邻边和斜边与这个角的关系。有了这些信息，我们可以用余弦函数求出角度。

$\cos = \frac{adjacent}{hypotenuse}$

$\cos\left ( \theta\right ) = \frac{12}{30} = 0.4$

$\arccos\left ( 0.4\right ) = \theta$

$66.4^{\circ}= \theta$

例子问题1:如何找到一个角度与余弦

Soh_cah_toa

对于上面的三角形， a = 17 而且 h = 13 ．找到 $\theta$ ．

可能的答案:

$49.9^{\circ}$

这个三角形不可能存在。

$40.1^{\circ}$

$52.6^{\circ}$

$37.4^{\circ}$

正确答案:

这个三角形不可能存在。

解释：

对于直角三角形，我们可以用SOH CAH TOA来求解未知的边长和角度。对于这个问题，我们已知三角形的邻边和斜边与这个角的关系。然而，如果我们把给定的值代入余弦的公式中，我们得到:

$\cos = \frac{adjacent}{hypotenuse}$

$\cos\left ( \theta\right ) = \frac{17}{13} = 1.3$

$\arccos\left ( 1.3\right ) = \theta = \textup{no solution}$

这个问题没有解决办法。直角三角形的两条边必须比斜边短。边长大于斜边的三角形是不存在的。类似地，arccos函数的定义域为 $\left [ -1, 1\right ]$ ．它没有在1.3定义。

问题4:如何找到一个角度与余弦

一个 $50\textup{-foot}$ 绳子从建筑物上扔到地上，绑在一段距离 $27\textup{ feet}$ 从建筑的底部。绳子和地面之间的角度是多少?精确到百分之一度．

可能的答案:

$31.34$^{\circ}$$

$22.44$^{\circ}$$

$32.68$^{\circ}$$

$57.32$^{\circ}$$

$28.37$^{\circ}$$

正确答案:

$57.32$^{\circ}$$

解释：

你可以用下面的直角三角形来画你的场景:

回忆一下，一个角的余弦等于这个三角形的邻边与斜边之比。你可以用逆余弦函数求出这个角:

$\small \small \Theta = cos^-^1(\frac{27}{50})=57.31636115374206$ 或 $\small 57.32$ 度。

例5:如何找到一个角度与余弦

Theta6

价值是什么 $\small \Theta$ 在上面的直角三角形里?精确到百分之一度。

可能的答案:

$71.44$^{\circ}$$

$18.56$^{\circ}$$

$68.49$^{\circ}$$

$19.62$^{\circ}$$

$70.38$^{\circ}$$

正确答案:

$70.38$^{\circ}$$

解释：

回忆一下，一个角的余弦等于这个三角形的邻边与斜边之比。你可以用逆余弦函数求出这个角:

$\small \Theta = cos^-^1(\frac{47}{140})=70.38402086459453$ 或 $70.38$^{\circ}$$ ．

例子问题6:如何找到一个角度与余弦

支撑梁(扶壁)靠在正在施工的建筑物上。如果光束是几英尺长，在某一点上击中了建筑物离墙几英尺高，光束以什么角度撞击建筑物?四舍五入到最接近的度。

可能的答案:

$22^{\circ}$

$23^{\circ}$

$7^{\circ}$

$16^{\circ}$

$18^{\circ}$

正确答案:

$16^{\circ}$

解释：

我们的答案在于逆函数。如果扶壁是英尺长脚以理想的角度爬上梯子，然后:

$\textup{cos }x^{\circ} = \frac{24}{25}$

因此，使用逆函数我们可以说 $x = \textup{cos}^{-1}\frac{24}{25} \approx 16.26$

因此，我们的扶壁以大约a的高度撞击建筑物 $16^{\circ}$ 角。

示例问题7:如何找到一个角度与余弦

一座石碑是一个旅游景点。游客想要以合适的角度“坐在”柱子上晒太阳。游客躺在地上距离纪念碑几米远，将相机对准纪念碑的顶部，相机的显示显示“距离——”米”。到最近的地方度，太阳相对于地平线的角度是多少?

可能的答案:

$18.13^{\circ}$

$62.82^{\circ}$

$48.19^{\circ}$

$78.44^{\circ}$

$23.20^{\circ}$

正确答案:

$48.19^{\circ}$

解释：

我们的答案在于逆函数。如果纪念碑是几米远，摄像机在距离纪念碑顶部几米的理想角度，然后:

$\textup{cos} x^{\circ} = \frac{8}{12}$

因此，使用逆函数我们可以说 $x = \textup{cos}^{-1}\frac{8}{12} \approx 48.189$

因此，我们的扶壁以大约a的高度撞击建筑物 $48.19^{\circ}$ 角。

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